Question

13．等差数列{a_n}中，若a₄=32，a₁₂=8．
（1）求通项公式a_n；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．
（3）设b_n=|a_n|，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）根据题意和等差数列的通项公式求出公差d，再求出a_n；
（2）由（1）和等差数列的前n项公式求出数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）由（1）化简b_n=|a_n|，根据正负项对n进行分类讨论，变形后分别由（2）求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）由题意得，a₄=32，a₁₂=8，
则公差d=$\frac{{a}_{12}-{a}_{4}}{12-4}$=-$\frac{24}{8}$=-3，
所以a_n=a₄+（n-4）d=32-3（n-4）=-3n+44；
（2）由（1）可得，a_n=-3+44=41，
所以数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{n（41-3n+44）}{2}$=$\frac{-3{n}^{2}+85n}{2}$；
（3）由（1）得，b_n=|a_n|=|-3n+44|，
所以当n≤14时，T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a_n
=S_n=$\frac{-3{n}^{2}+85n}{2}$，
当n＞15时，T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a₆|+|a₇|+…+|a_n|
=a₁+a₂+…+a₁₄-（a₁₅+a₁₆+…+a_n）=-S_n+2S₁₄
=-（$\frac{-3{n}^{2}+85n}{2}$）+2×$\frac{-3×{14}^{2}+85×14}{2}$=$\frac{3{n}^{2}-85n}{2}+602$，
综上可得，${T}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{\frac{-3{n}^{2}+85n}{2}}\\{\frac{3{n}^{2}-85n}{2}+602}\end{array}\right.$．

点评 本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式，以及利用分类讨论思想求数列的前n项和，考查化简、计算能力，这是常考的题型．