Question

5．△ABC的重心为G，M在△ABC的平面内，求证：MA²+MB²+MC²=GA²+GB²+GC²+3GM²．

Answer 1

分析 利用G为三角形ABC的重心得到$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$，结合向量的三角形法则、数量积运算化简计算．

解答 证明：因为△ABC的重心为G，M在△ABC的平面内，
所以$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$，又$\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}$，$\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}$，$\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}$，
所以${\overrightarrow{MA}}^{2}+{\overrightarrow{MB}}^{2}+{\overrightarrow{MC}}^{2}$=${\overrightarrow{GA}}^{2}+{\overrightarrow{GB}}^{2}+{\overrightarrow{GC}}^{2}+3{\overrightarrow{MG}}^{2}$+2$\overrightarrow{MG}•（\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}）$=${\overrightarrow{GA}}^{2}+{\overrightarrow{GB}}^{2}+{\overrightarrow{GC}}^{2}+3{\overrightarrow{MG}}^{2}$．

点评 本题考查了三角形重心的性质，向量的三角形法则以及平面向量的运算；关键是利用△ABC的重心为G，则$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$．