Question

3．△ABC的三内角为A，B，C，且2C-B=180°，△ABC的周长与最长边的比值为m，那么m的最大值为$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 利用已知及三角形内角和定理可得：3（C-B）=180°+A，既有sin3（C-B）=sin（180°+A）=-sinA，由2C-B=180°，得sin3（180°-C）=-sinA，可得3sin（180°-C）-4[sin3（180°-C）]³=-sinA，化简得：sinA=4（sinC）³-sinC．由2C-B=180°，得sinB=-sin2C．据正弦定理，$\frac{a+b+c}{c}$=1+$\frac{sinA+sinB}{sinC}$=1+$\frac{4（sinC-3sinC）^{3}-sin2C}{sinC}$=1+4（sinC）²-3-2cosC=$\frac{9}{4}$-（2cosC+$\frac{1}{2}$）²
即可求得当2cosC+$\frac{1}{2}$=0时，$\frac{a+b+c}{c}$有最大值为$\frac{9}{4}$．

解答 解：∵A+B+C=180°，2C-B=180°，
∴A+B+C=2C-B，∴C-2B=A，
将2C-B=180°和C-2B=A两边分别相加，得：3（C-B）=180°+A，
∴sin3（C-B）=sin（180°+A）=-sinA，
由2C-B=180°，得：C-B=180°-C，∴sin3（180°-C）=-sinA，
∴3sin（180°-C）-4[sin3（180°-C）]³=-sinA，
∴3sinC-4（sinC）³=-sinA，
得：sinA=4（sinC）³-sinC．
由2C-B=180°，得：2C=180°+B，
∴sin2C=-sinB，即：sinB=-sin2C．
根据正弦定理，有：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
∴$\frac{a+b+c}{c}$=1+$\frac{a+b}{c}$
=1+$\frac{2RsinA+2RsinB}{2RsinC}$，
=1+$\frac{sinA+sinB}{sinC}$
=1+$\frac{4（sinC-3sinC）^{3}-sin2C}{sinC}$，
=1+4（sinC）²-3-2cosC
=-2+4[1-（cosC）²]-2cosC
=2-4（cosC）²-2cosC
=2+$\frac{1}{4}$-[4（cosC）²+2cosC+$\frac{1}{4}$]
=$\frac{9}{4}$-（2cosC+$\frac{1}{2}$）²
显然，当2cosC+$\frac{1}{2}$=0，即C=arccos（-$\frac{1}{4}$）时，$\frac{a+b+c}{c}$有最大值为$\frac{9}{4}$．
故答案为：$\frac{9}{4}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变化的应用，二次函数的性质，三角形内角和定理等知识的应用，考查的知识点多，技巧性强，考查了计算能力和转化思想，属于难题．