Question

已知函数y=f（x）为R上偶函数，当x≥0时，f（x）=ax²+bx+c，满足f（0）=f（4），f（3）=，且当x≥0时，函数f（x）的值域为[0，+∞）．
（Ⅰ）求函数f（x）在R上的解析式；
（Ⅱ）做出函数f（x）的图象；
（Ⅲ）由f（x）的图象说明函数g（x）=2f²（x）-3f（x）+1的零点个数．

Answer 1

解：（Ⅰ）由f（0）=f（4），f（3）=，得16a+4b=0，且9a+3b+c=，且对称轴为x=2，因为x≥0时，函数f（x）的值域为[0，+∞），
所以f（2）=0，即4a+2b+c=0，所以解得a=，b=-1，c=1．即x≥0时，f（x）=x²-x+1．
当x＜0，则-x＞0，则f（-x）=x²+x+1，因为函数y=f（x）为R上偶函数，所以f（-x）=x²+x+1=f（x），即当x＜0时，f（x）=x²+x+1．
所以．
（Ⅱ）因为，所以作出函数图象为：
（Ⅲ）由g（x）=2f²（x）-3f（x）+1=0，解得f（x）=1或f（x）=．
令t=f（x），则由图象可知，当f（x）=1时，函数有三个交点．当f（x）=时，函数有四个交点，所以函数g（x）=2f²（x）-3f（x）+1的零点个数为7个．
分析：（Ⅰ）先由条件确定a，b，c，然后利用奇偶性确定f（x）的解析式．
（Ⅱ）利用解析式，作出二次函数的图象．
（Ⅲ）利用换元，并结合图象判断函数g（x）=2f²（x）-3f（x）+1的零点个数．
点评：本题主要考查了二次函数的图象和性质以及函数与方程的．在解决函数方程根的个数的问题时，经常使用数形结合思想．