Question

【题目】如图，几何体EF﹣ABCD中，CDEF为边长为2的正方形，ABCD为直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，AD=2，AB=4，∠ADF=90°．
（1）求证：AC⊥FB
（2）求二面角E﹣FB﹣C的大小．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由题意得，AD⊥DC，AD⊥DF，且DC∩DF=D，

∴AD⊥平面CDEF，∴AD⊥FC，

∵四边形CDEF为正方形．∴DC⊥FC

由DC∩AD=D∴FC⊥平面ABCD，∴FC⊥AC

又∵四边形ABCD为直角梯形，

AB∥CD，AD⊥DC，AD=2，AB=4

∴ ， ，则有AC2+BC2=AB2

∴AC⊥BC

由BC∩FC=C，∴AC⊥平面FCB，∴AC⊥FB

（2）解：由（1）知AD，DC，DE所在直线相互垂直，

故以D为原点，DA，DC，DE所在直线分别为x，y，z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，…（7分）

可得D（0，0，0），F（0，2，2），B（2，4，0），

E（0，0，2），C（0，2，0），A（2，0，0），

由（1）知平面FCB的法向量为 ，

∴ ，…（8分）

设平面EFB的法向量为 ，

则有：

令z=1则 ，…（10分）

设二面角E﹣FB﹣C的大小为θ，

，

∵ ，∴ ．…（12分）

【解析】（1）由题意得，AD⊥DC，AD⊥DF，从而AD⊥FC，DC⊥FC，由此能证明AC⊥FB．（2）以D为原点，DA，DC，DE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E﹣FB﹣C的大小．
【考点精析】掌握空间中直线与直线之间的位置关系是解答本题的根本，需要知道相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点．