Question

11．现需要设计一个仓库，它的上部是底面圆半径为5米的圆锥，下部是底面圆半径为5米的圆柱，且该仓库的总高度为5米．经过预算，制造该仓库的圆锥侧面、圆柱侧面用料的单价分别为4百元/米²、1百元/米²．
（1）记仓库的侧面总造价为y百元，
①设圆柱的高为x米，试将y表示为关于x的函数y=f（x）；
②设圆锥母线与其轴所在直线所成角为θ，试将y表示为关于θ的函数y=g（θ）；
（2）问当圆柱的高度为多少米时，该仓库的侧面总造价（单位：百元）最少？

Answer 1

分析 （1）①由题可知，圆柱的高为x米，且x∈（0，5），利用制造该仓库的圆锥侧面、圆柱侧面用料的单价分别为4百元/米²、1百元/米²，可将y表示为关于x的函数y=f（x）；
②设圆锥母线与其轴所在直线所成角为θ，即可将y表示为关于θ的函数y=g（θ）；
（2）由②，令$h（θ）=\frac{2-cosθ}{sinθ}$，${h^'}（θ）=\frac{1-2cosθ}{{si{n^2}θ}}=0$，确定函数的单调性，即可得出结论．

解答 解：（1）①由题可知，圆柱的高为x米，且x∈（0，5），…（2分）
则该仓库的侧面总造价$y=（2π×5x）×1+[{\frac{1}{2}×2π×5×\sqrt{（5-x{）^2}+25}}]×4$=$10πx+20π\sqrt{{x^2}-10x+50}$，x∈（0，5）…（4分）
②由题可知，圆锥母线与轴所在直线所成角为θ，且$θ∈（{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}）$，…（6分）
则该仓库的侧面总造价$y=[{2π×5×5（1-\frac{1}{tanθ}）}]×1+[{\frac{1}{2}×2π×5×\frac{5}{sinθ}}]×4$=$50π（{1+\frac{2-cosθ}{sinθ}}）$，$θ∈（{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}）$…（8分）
（2）由②，令$h（θ）=\frac{2-cosθ}{sinθ}$，${h^'}（θ）=\frac{1-2cosθ}{{si{n^2}θ}}=0$得$cosθ=\frac{1}{2}$，$θ∈（{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}）$即$θ=\frac{π}{3}$，…（11分）

θ	$（{\frac{π}{4}，\frac{π}{3}}）$	$θ=\frac{π}{3}$	$（{\frac{π}{3}，\frac{π}{2}}）$
h′（θ）	-	0	+
h（θ）	↘	极小值	↗

不列表描述单调性，扣（3分）…（14分）
当$θ=\frac{π}{3}$时，h（θ）取得最小值，侧面总造价y最小，
此时圆柱的高度为$5-\frac{5}{tanθ}=5-\frac{{5\sqrt{3}}}{3}$米．…（15分）
答：当圆柱的高度为$5-\frac{{5\sqrt{3}}}{3}$米时，该仓库的侧面总造价最少．…（16分）

点评 本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力，考查运算求解能力．