Question

1．已知cos（$\frac{π}{4}$-α）=$\frac{3}{5}$，sin（$\frac{π}{4}$+β）=$\frac{12}{13}$，α∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），β∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$），则sin（α+β）=$\frac{56}{65}$．

Answer 1

分析 根据α、β的取值范围求得$\frac{π}{4}$-α、$\frac{π}{4}$+β的取值范围，从而确定sin（$\frac{π}{4}$-α），cos（$\frac{π}{4}$+β）的值，然后将其代入，sin（α+β）=sin[（$\frac{π}{4}$+β）-（$\frac{π}{4}$-α）]的展开式中进行求值．

解答 解：∵α∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），β∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$），
∴$\frac{π}{4}$-α∈（-$\frac{π}{2}$，0），$\frac{π}{4}$+β∈（0，$\frac{π}{2}$），
∵cos（$\frac{π}{4}$-α）=$\frac{3}{5}$，sin（$\frac{π}{4}$+β）=$\frac{12}{13}$，
∴sin（$\frac{π}{4}$-α）=-$\frac{4}{5}$，cos（$\frac{π}{4}$+β）=$\frac{5}{13}$，
∴sin（α+β）=sin[（$\frac{π}{4}$+β）-（$\frac{π}{4}$-α）]=sin（$\frac{π}{4}$+β）cos（$\frac{π}{4}$-α）-cos（$\frac{π}{4}$+β）sin（$\frac{π}{4}$-α）=$\frac{12}{13}$×$\frac{3}{5}$-$\frac{5}{13}$×（-$\frac{4}{5}$）=$\frac{56}{65}$．
故答案是：$\frac{56}{65}$．

点评 本题考查了两角和与差的正弦函数．解题过程中，要注意角与角间的数量转换关系．