Question

6．（1）已知命题p：2x²-3x+1≤0和命题q：x²-（2a+1）x+a（a+1≤0），若?p是?q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
（2）已知p：关于x的方程x²+mx+1=0有两个不相等的负实根；q：关于x的不等式4x²+4（m-2）x+1＞0的解集为R．若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由?p是?q的必要不充分条件，所以?q⇒?p且?p⇒?q．于是所以p⇒q且q⇒p，进而可得实数a的取值范围．
（2）由“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，知p与q一真一假．进而可得实数m的取值范围．

解答 解：（1）对于命题p：2x²-3x+1≤0，解得：$\frac{1}{2}≤x≤1$（1分）
对于命题q：x²-（2a+1）x+a（a+1≤0），解得：a≤x≤a+1（2分）
由?p是?q的必要不充分条件，
所以?q⇒?p且?p⇒?q．
于是所以p⇒q且q⇒p．（4分）
所以$\left\{\begin{array}{l}a≤\frac{1}{2}\\ a+1≥1\end{array}\right.$．解得$\left\{\begin{array}{l}a≤\frac{1}{2}\\ a≥0\end{array}\right.$，
即：$0≤a≤\frac{1}{2}$
所以实数a的取值范围是$0≤a≤\frac{1}{2}$（6分）
（2）解：p为真命题?-m＜0且△=m²-4＞0，⇒m＞2；
q为真命题?△=[4（m-2）]²-4×4×1＜0⇒1＜m＜3．
由“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，知p与q一真一假．
当p真，q假时，由m≤1或m≥3且m＞2，⇒m≥3；
当p假，q真时，由1＜m＜3且m≤2，⇒1＜m≤2．
综上，知实数m的取值范围是（1，2]∪[3，+∞）．

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查二次不等式的解法，复合命题，充要条件，函数恒成立问题，难度中档．