Question

18．已知二次函数f（x）的图象经过点（1，0），对于任意的x∈R有f（x）≤1恒成立，且f（2-x）=f（2+x）
（1）求f（x）的解析式．
（2）设函数g（x）=f（x）+ax，x∈[-1，2]的最大值为h（a），求h（a）

Answer 1

分析 （1）利用已知条件求出对称轴，求出最大值点，函数的零点，然后写出解析式即可．
（2）化简函数的解析式，求出对称轴，利用对称轴所在位置，求解函数的最值即可．

解答 解：（1）知二次函数f（x）满足f（2-x）=f（2+x），可知函数的对称轴为：x=2，二次函数f（x）的图象经过点（1，0），可知函数的图象经过（3，0），对于任意的x∈R有f（x）≤1恒成立，可知x=1时，函数的最大值为1，可得二次函数f（x）=（x-1）（x-3）=x²-4x+3．
（2）函数g（x）=f（x）+ax=x²-4x+ax+3，x∈[-1，2]，
函数的对称轴为x=$\frac{4-a}{2}$=2-$\frac{a}{2}$，
当2-$\frac{a}{2}$$＜\frac{1}{2}$时，即a＞3时，函数g（x）的最大值为：g（2）=2a-1．
当2-$\frac{a}{2}$$≥\frac{1}{2}$，即a≤3时，函数g（x）的最大值为：g（-1）=8-a．
函数g（x）=f（x）+ax，x∈[-1，2]的最大值为h（a）=$\left\{\begin{array}{l}{2a-1，a＞3}\\{8-a，a≤3}\end{array}\right.$．

点评 本题考查二次函数的简单性质的应用，考查计算能力．