Question

3．已知函数f（x）=ax²-2ax+2+a（a＜0），若f（x）在区间[2，3]上有最大值1．
（1）求a的值；
（2）若g（x）=f（x）-mx在[2，4]上单调，求数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数的开口方向和对称轴，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值是f（2）=1，求出a的值即可；
（2）求出f（x）的解析式，求出g（x）的表达式，根据函数的单调性求出m的范围即可．

解答 解：（1）因为函数的图象是抛物线，a＜0，
所以开口向下，对称轴是直线x=1，
所以函数f（x）在[2，3]单调递减，
所以当x=2时，y_max=f（2）=2+a=1，
∴a=-1-----------------------（5分）
（2）因为a=-1，∴f（x）=-x²+2x+1，
所以g（x）=f（x）-mx=-x²+（2-m）x+1，
$g（x）的图象开口向下，对称轴为直线x=\frac{2-m}{2}$，
∵g（x）在[2，4]上单调，
∴$\frac{2-m}{2}≤2，或\frac{2-m}{2}≥4$，
从而m≤-6，或m≥-2
所以，m的取值范围是（-∞，-6]∪[-2，+∞）----------------------------------------------------（10分），

点评 本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，是一道中档题．