Question

13．（1）设数列{a_n}满足a₁=1，且a_n+1-a_n=n+1（n∈N*），求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}满足a₁=1，且a_n+1=a_n+2ⁿ，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）由a₁=1，且a_n+1-a_n=n+1（n∈N*），可得a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=n+（n-1）+（n-2）+…+2+1，利用等差数列的求和公式即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）依题意，a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=2^n-1+2^n-2+…+2¹+1，利用等比数列的求和公式即可得到数列{a_n}的通项公式．

解答 解：（1）∵a₁=1，a_n+1-a_n=n+1（n∈N*），
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=n+（n-1）+（n-2）+…+2+1=$\frac{n（n+1）}{2}$，
即数列{a_n}的通项公式为：a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$；
（2）∵a₁=1，a_n+1=a_n+2ⁿ，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=2^n-1+2^n-2+…+2¹+1=$\frac{1{-2}^{n}}{1-2}$=2ⁿ-1．
∴数列{a_n}的通项公式为：a_n=2ⁿ-1．

点评 本题考查数列递推式的运用，突出考查累加法的运用，考查等差数列与等比数列的求和公式的运用，属于中档题．