Question

3．已知正三棱台（上、下底面是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下底面的中心）的上下底面边长分别是2cm和4cm，侧棱长是$\sqrt{6}$cm，试求该三棱台的侧面积与体积（V_棱台=$\frac{1}{3}$（S+$\sqrt{SS′}$+S′）h）．

Answer 1

分析 设O′、O分别是上、下底面的中心，连结OO′、O′B′、OB，在平面BCC′B′内过B′作B′D⊥BC于D，在平面BOO′B′内作B′E⊥OB于E，求出棱台高为$\frac{\sqrt{42}}{3}$cm，梯形有高为$\sqrt{5}$，由此能求出该三棱台的侧面积和体积．

解答 （本小题满分12分）
解：如图所示，O′、O分别是上、下底面的中心，
连结OO′、O′B′、OB，
在平面BCC′B′内过B′作B′D⊥BC于D，
在平面BOO′B′内作B′E⊥OB于E，
∵△A′B′C′是边长为2的等边三角形，O′是中心，
∴O′B′=$\frac{2}{3}×2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
在Rt△B′EB中，$B{B}^{'}=\sqrt{6}$，BE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴B′E=$\frac{\sqrt{42}}{3}$，即棱台高为$\frac{\sqrt{42}}{3}$cm，
∴三棱台的体积为：
${V}_{棱台}=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{42}}{3}（\frac{\sqrt{3}}{4}×16+\frac{\sqrt{3}}{4}×4+\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{4}×16×\frac{\sqrt{3}}{4}×4}）$=$\frac{7\sqrt{14}}{3}$（cm³）．
∵棱台的侧面是等腰梯形，
∴BD=$\frac{1}{2}（4-2）=1$，
在Rt△B′DB中，BB′=$\sqrt{6}$，BD=1，
∴B′D=$\sqrt{5}$，即梯形有高为$\sqrt{5}$，
∴该三棱台的侧面积S_侧=3×$\frac{1}{2}×（2+4）×\sqrt{5}$=9$\sqrt{5}$（cm²）．
该三棱台的侧面积为$9\sqrt{5}$cm²，体积为$\frac{7}{3}\sqrt{14}$cm³．

点评 本解决棱锥、棱台的侧面积、表面积及体积问题时，往往将已知条件归结到一个直角三角形中求解，为此在解此类问题时，要注意直角三角形的应用．