Question

15．如图，四边形ABCD是矩形，∠EDC=∠CAB，∠DEC=90°．
（1）求证：AC∥DE；
（2）过点B作BF⊥AC于点F，连结EF，试判别四边形BCEF的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用矩形的性质可得AB∥CD，因此∠DCA=∠CAB，可得∠EDC=∠DCA，即可证明AC∥DE．
（2）通过证明△ABF≌△DCE，BF=CE，及其BF∥CE，即可证明．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∴∠DCA=∠CAB，
∵∠EDC=∠CAB，∴∠EDC=∠DCA，
∴AC∥DE．
（2）解：四边形BCEF是平行四边形．以下给出证明：
∵BF⊥AC∴∠BFC=∠AFB=90°．
∵∠DEC=90，AC∥DE，∴∠ACE=180-∠DEC=90°．
∴∠ACE=∠BFC，∴BF∥CE．
∵AB=CD，∠EDC=∠CAB，∠DEC=∠AFB=90°．
∴△ABF≌△DCE （AAS），
∴BF=CE，
∴四边形BCEF平行四边形．

点评 本题考查了平行四边形与矩形的判定与性质定理、三角形全等的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．