Question

13．如图，在△ABC中，若AB=AC=3，cos∠BAC=$\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{DC}$=2$\overrightarrow{BD}$，则$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}$=$-\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 由条件可先得出$\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$，且$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$，从而带入$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}$进行数量积的运算即可求出该数量积的值．

解答 解：根据条件：
$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$
=$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$
=$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$
=$\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$；
∴$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}=（\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}）•（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$
=$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}-\frac{2}{3}{\overrightarrow{AB}}^{2}+\frac{1}{3}{\overrightarrow{AC}}^{2}$
=$\frac{1}{3}×3×3×\frac{1}{2}-\frac{2}{3}×9+\frac{1}{3}×9$
=$-\frac{3}{2}$．
故答案为：$-\frac{3}{2}$．

点评 考查向量加法和数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，向量数量积的运算及计算公式．