Question

3．已知函数f（x）=lg（3+x）-lg（3-x）
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明；
（3）若f（a）=4，求f（-a）的值．

Answer 1

分析 （1）根据对数函数的真数要大于0列不等式组求解定义域．
（2）利用定义证明其单调性．
（3）判断函数的奇偶性，f（a）=4，求解f（-a）的值．

解答 解：（1）函数f（x）=lg（3+x）-lg（3-x）
其定义域满足：$\left\{\begin{array}{l}{3+x＞0}\\{3-x＞0}\end{array}\right.$，解得：-3＜x＜3．
故得f（x）的定义域数为{x|-3＜x＜3}．
（2）由（1）可得f（x）的定义域数为{x|-3＜x＜3}．设-3＜x₁＜x₂＜3，
则f（x₁）-f（x₂）=lg（3+x₁）-lg（3-x₁）-lg（3+x₂）+lg（3-x₂）=lg$\frac{（3+{x}_{1}）（3-{x}_{2}）}{（3+{x}_{2}）（3-{x}_{1}）}$=lg$\frac{9+3（{x}_{1}-{x}_{2}）-{{x}_{2}x}_{1}}{9-3（{x}_{1}-{x}_{2}）-{x}_{1}{x}_{2}}$
因为9+3（x₁-x₂）-x₁x₂＞9+（x₂-x₁）-x₁x₂＜0，
∴$\frac{9+3（{x}_{1}-{x}_{2}）-{{x}_{2}x}_{1}}{9-3（{x}_{1}-{x}_{2}）-{x}_{1}{x}_{2}}$＜1，
即f（x₁）-f（x₂）＜0，所以f（x₁）＜f（x₂），即f（x）是（-3，3）上的增函数；
（3）∵函数的定义域为（-3，3）．
∴定义域关于原点对称，
∵f（-x）=lg（3-x）+lg（3+x）=f（x），
∴函数f（x）是偶函数．
∴f（a）=4，则f（-a）=f（a）=4．

点评 本题考查了对数函数的定义域的求法和单调性的判断，奇偶性的运用，具有一定的综合性质，属于中档题．