Question

8．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，且满足a_n+1=S_n+2ⁿ⁺¹（n∈N^*）．
（1）证明数列{$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$}为等差数列．
（2）求S₁+S₂+…+S_n．

Answer 1

分析 （1）由满足a_n+1=S_n+2ⁿ⁺¹（n∈N^*）．可知，S_n+1-S_n=S_n+2ⁿ⁺¹，即$\frac{{S}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{S}_{n}}{{2}^{n}}$=1．利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）由（1）可知，$\frac{{S}_{n}}{{2}^{n}}$=1+n-1=n，即S_n=n•2ⁿ，再利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 （1）证明：由满足a_n+1=S_n+2ⁿ⁺¹（n∈N^*）．可知，S_n+1-S_n=S_n+2ⁿ⁺¹，即$\frac{{S}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{S}_{n}}{{2}^{n}}$=1．
所以数列$\{\frac{{S}_{n}}{{2}^{n}}\}$是以1为首项，1为公差的等差数列．
（2）解：由（1）可知，$\frac{{S}_{n}}{{2}^{n}}$=1+n-1=n，即S_n=n•2ⁿ，
令T_n=S₁+S₂+…+S_n=2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
2T_n=2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
整理得：T_n=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．