Question

16．已知函数f（x）=-$\frac{1}{2}{x^2}$-ax+a，在区间[-2，2]有最小值-3
（1）求实数a的值，
（2）求函数的最大值．

Answer 1

分析 （1）函数f（x）=-$\frac{1}{2}{x^2}$-ax+a，对称轴为x=-a，对称轴进行分区间讨论，找出f（x）最小值时x的取值；
（2）由（1）知要使得f（x）最小值为3，对称轴须在[-2，2]内，再分别求出最大值；

解答 解：函数f（x）=-$\frac{1}{2}{x^2}$-ax+a，对称轴为x=-a；
（1）①当-a≤-2时，即a≥2：f（x）_min=f（2）=-3⇒a=1，故舍去；
②当-a≥2时，即a≤-2：f（x）_min=f（-2）=-3⇒a=-$\frac{1}{3}$，故舍去；
③当-2＜-a≤0时，即：0≤a＜2：f（x）_min=f（2）=-3⇒a=1，满足题意；
④当0＜-a≤2时，即：-2≤a＜0：f（x）_min=f（-2）⇒a=-$\frac{1}{3}$，满足题意；
综上，函数f（x）=-$\frac{1}{2}{x^2}$-ax+a，在区间[-2，2]有最小值-3时，a=1或-$\frac{1}{3}$；
（2）当-2＜-a≤0时，a=1，所以f（x）=-$\frac{1}{2}$x²-x+1，f（x）_max=f（-a）=f（-1）=$\frac{3}{2}$；
当0＜-a≤2时，a=$-\frac{1}{3}$，所以f（x）=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+$\frac{1}{3}x$-$\frac{1}{3}$，f（x）_max=f（-a）=f（$\frac{1}{3}$）=-$\frac{5}{18}$；

点评 本题主要考查了二次函数的图形特征，以及分类讨论思想的应用，属中等题．