Question

7．已知-3≤log${\;}_{\frac{1}{2}}$x≤-$\frac{3}{2}$，求函数f（x）=log₂$\frac{x}{2}$log₂$\frac{x}{4}$的值域．

Answer 1

分析 由已知求得log₂x的范围，把f（x）=log₂$\frac{x}{2}$log₂$\frac{x}{4}$转化为关于log₂x的二次函数，换元后利用配方法求得函数的值域．

解答 解：∵-3≤log${\;}_{\frac{1}{2}}$x≤-$\frac{3}{2}$，∴$-3≤-lo{g}_{2}x≤-\frac{3}{2}$，
即$\frac{3}{2}≤lo{g}_{2}x≤3$．
∵f（x）=log₂$\frac{x}{2}$log₂$\frac{x}{4}$=（log₂x-log₂2）（log₂x-log₂4）=（log₂x-1）（log₂x-2）．
令t=log₂x，则$\frac{3}{2}≤t≤3$，
∴f（x）=g（t）=（t-1）（t-2）=$（t-\frac{3}{2}）^{2}-\frac{1}{4}$．
∵$\frac{3}{2}≤t≤3$，
∴f（x）_max=g（3）=2，$f（x）_{min}=g（\frac{3}{2}）=-\frac{1}{4}$．
∴函数f（x）=log₂$\frac{x}{2}$log₂$\frac{x}{4}$的值域为[-$\frac{1}{4}$，2]．

点评 本题考查函数值域的求法，训练了利用配方法求二次函数的最值，是中档题．