Question

12．已知设函数f（x）=log_a（1+2x）-log_a（1-2x）（a＞0，a≠1）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明；
（3）求使f（x）＞0的x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据对数函数的真数要大于0列不等式组求解定义域．
（2）利用定义判断函数的奇偶性．
（3）f（x）＞0，即log_a（1+2x）-log_a（1-2x）＞0，对底数a讨论，求解x的取值范围．

解答 解：（1）函数f（x）=log_a（1+2x）-（log_a（1-2x）（a＞0，a≠1）．
其定义域满足$\left\{\begin{array}{l}{1+2x＞0}\\{1-2x＞0}\end{array}\right.$，解得：$-\frac{1}{2}＜x＜\frac{1}{2}$
故得f（x）的定义域为{x|$-\frac{1}{2}＜x＜\frac{1}{2}$}
（2）由（1）可知f（x）的定义域为{x|$-\frac{1}{2}＜x＜\frac{1}{2}$}，关于原点对称．
又∵f（-x）=log_a（1-2x）-（log_a（1+2x）=-f（x）
∴f（x）为奇函数．
（3）f（x）＞0，即log_a（1+2x）-log_a（1-2x）＞0，⇒log_a（1+2x）＞log_a（1-2x）
 当a＞1时，原不等式等价为：1+2x＞1-2x，解得：x＞0．
当0＜a＜1时，原不等式等价为：1+2x＜1-2x，解得：x＜0．
又∵f（x）的定义域为（$-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）．
所以使f（x）＞0的x的取值范围，当a＞1时为（0，$\frac{1}{2}$）；当0＜a＜1时为（$-\frac{1}{2}$，0）；

点评 本题考查了对数函数的定义域的求法和奇偶性的运用，比较基础．