Question

15．已知函数f（x）=log₂（9^x-a）-log₂（3^x-2），其中a为常数．
（1）当a=5时，求不等式f（x）＜2的解集；
（2）若不等式f（x）＞1对定义域内的所有x恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得log₂（9^x-5）＜log₂4（3^x-2），即为9^x-4•3^x+3＜0，且x＞log₉5，运用指数不等式的解法，即可得到解集；
（2）不等式f（x）＞1对定义域内的所有x恒成立，即log₂（9^x-a）-log₂（3^x-2）＞1，运用对数函数的单调性，结合分离参数，二次函数的最值求法，函数恒成立思想即可得到所求a的范围．

解答 解：（1）当a=5时，f（x）=log₂（9^x-5）-log₂（3^x-2），
不等式f（x）＜2，即为log₂（9^x-5）-log₂（3^x-2）＜2，
log₂（9^x-5）＜log₂4（3^x-2），
即为9^x-4•3^x+3＜0，且x＞log₉5，
可得1＜3^x＜3，且x＞log₉5，
即为0＜x＜1且x＞log₉5，
即不等式f（x）＜2的解集为（log₉5，1）．
（2）不等式f（x）＞1对定义域内的所有x恒成立，
即log₂（9^x-a）-log₂（3^x-2）＞1，
可得log₂（9^x-a）＞log₂2（3^x-2），
即有9^x-a＞2（3^x-2）＞0，
即为a＜9^x-2（3^x-2），x＞log₃2，
由9^x-2（3^x-2）=（3^x-1）²+3，
由x＞log₃2，可得9^x-2（3^x-2）＞4，
则由题意可得a≤4，
则a的取值范围是（-∞，4]．

点评 本题考查对数不等式的解法，函数恒成立问题的解法，注意运用运用对数函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．