Question

17．已知函数f（x）=2sin²x+cos（$\frac{π}{3}$-2x）．
（1）求f（x）在[0，π]上的减区间；
（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=2，且向量$\overrightarrow m$=（1，2）与向量$\overrightarrow n$=（sinB，sinC）共线，求$\frac{a}{b}$的值．

Answer 1

分析 （1）将函数f（x）利用二倍角公式和两角和与差以及辅助角公式化简，结合三角函数图象及性质求解f（x）在[0，π]上的减区间．
（2）利用f（A）=2，求出A，向量$\overrightarrow m$=（1，2）与向量$\overrightarrow n$=（sinB，sinC）共线，可得sinC=2sinB，利用余弦定理可得求$\frac{a}{b}$的值．

解答 解：函数f（x）=2sin²x+cos（$\frac{π}{3}$-2x）．
化简可得：f（x）=1-cos2x+$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x+1
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1
（1）2kπ$-\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ$+\frac{π}{2}$（k∈Z）
解得：kπ$+\frac{π}{3}$≤x≤kπ$+\frac{5π}{6}$（k∈Z）
∵x∈[0，π]，
∴k=0时，可得$\frac{π}{3}$≤x≤$\frac{5π}{6}$．
即f（x）在[0，π]上的减区间为[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]．
（2）由（1）可得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1
那么：f（A）=sin（2A-$\frac{π}{6}$）+1=2
解得：A=$\frac{π}{3}$
∵向量$\overrightarrow m$=（1，2）与向量$\overrightarrow n$=（sinB，sinC）共线，
∴sinC=2sinB，
可得：c=2b
则cosA=$\frac{1}{2}$=$\frac{{c}^{2}+{b}^{2}-{a}^{2}}{2cb}$，
即a²=3b²，
故得$\frac{a}{b}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了三角函数的化简能力和性质的运用以及向量共线的坐标运算，正余弦定理的运用．属于中档题．