Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4．设圆C的半径为1，圆心在l上．
（1）若圆心C也在直线y=﹣x+5上，求圆C的方程；
（2）在（1）的条件下，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
（3）若圆C上存在点M，使|MA|=|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由

得圆心C为（3，2），

∵圆C的半径为，∴圆C的方程为：（x﹣3）2+（y﹣2）2=1

（2）解：由题意知切线的斜率一定存在，

设所求圆C的切线方程为y=kx+3，即kx﹣y+3=0

∴ =1

∴2k（4k+3）=0

∴k=0或者k=﹣

∴所求圆C的切线方程为：y=3或y=﹣ x+3，即y=3或者3x+4y﹣12=0

（3）解：设M为（x，y），由 =

整理得直线m：y=

∴点M应该既在圆C上又在直线m上，即：圆C和直线m有公共点

∴|2a﹣4﹣ |≤1，∴ ≤a≤

综上所述，a的取值范围为：[ ， ]

【解析】（1）联立直线l与直线y=﹣x+5，求出方程组的解得到圆心C坐标，可得圆C的方程；（2）根据A坐标设出切线的方程，由圆心到切线的距离等于圆的半径，列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出切线方程即可；（3）设M（x，y），由MA=2MO，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，由M在圆C上，得到圆C与圆D相交或相切，根据两圆的半径长，得出两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范围．