Question

【题目】已知椭圆上的一动点到右焦点的最短距离为，且右焦点到右准线的距离等于短半轴的长．

（1）求椭圆的方程；

（2）设是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连接交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点；

（3）在（2）的条件下，过点的直线与椭圆交于两点，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

（1）利用椭圆的定义和性质即可解出a、b、c；（2）利用点斜式方程得出直线PB的方程，与椭圆的方程联立，利用根与系数之间的关系得出点P、B的坐标之间的关系，再利用点斜式表示直线AE的方程，进而即可证明过定点；（3）分类讨论直线MN是否与x轴垂直，与椭圆方程联立得出点MN的坐标之间的关系，再表示出,进而即可求出其取值范围．

（1）由题意可得解得，

∴椭圆C的方程为.

（2）如图所示：

设直线PB的方程为y＝k（x﹣4），B（x1，y1），E（x2，y2），

则A（x1，﹣y1）．

联立，消去y化为方程（1+2k2）x2﹣16k2x+32k2﹣4＝0，

∵直线PB与椭圆有两个不同的交点，∴△＝（16k2）2﹣4（1+2k2）（32k2﹣4）＞0．（*）

x1+x2＝，．

直线AE的方程为，

令y＝0，则＝＝＝＝．故直线AE过定点Q（1，0）．

（3）①当直线MN与x轴重合时，＝（2，0）（﹣2，0）＝﹣4；

②当直线MN与x轴不重合时，设直线MN的方程为my＝x﹣1，

联立消去x化为方程（2+m2）y2+2my﹣3＝0，可知△＞0．

可得yM+yN＝，yMyN＝．

∴＝xMxN+yMyN＝（myM+1）（myN+1）+yMyN＝（1+m2）yMyN+m（yM+yN）+1

＝＝﹣4+，

∵m2≥0，∴，∴，

∴的取值范围是．

综上可知：的取值范围是．