Question

如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为DD₁、DB的中点．
（1）求证：EF⊥B₁C；
（2）求三棱锥B₁﹣EFC的体积．

Answer 1

（1）证明：连接BD₁，BC₁
∵E、F分别为DD₁、BD的中点
∴EF∥BD₁
∵正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁
∴D₁C₁⊥平面BCC₁B₁
∴D₁C₁⊥B₁C
∵正方形BCC₁B₁
∴B₁C⊥BC₁
∵D₁C₁∩BC₁=C₁
∴B₁C⊥平面BC₁D₁
∴B₁C⊥BD₁
∵EF∥BD₁
∴EF⊥B₁C
（2）解：∵CB=CD，BF=DF
∴CF⊥BD
∵DD₁⊥平面ABCD
∴DD₁⊥CF
又DD₁∩BD=D
∴CF⊥平面BDD₁B₁  
又CF=
∵EF⊥平面B₁FC
∴EF⊥FB₁EF=，FB₁=
Rt△B₁EF的面积=×EF×FB₁=××=
∴V=V=×S_△×CF==1
∴三棱锥B₁﹣EFC的体积为1．