【题目】已知函数 (为自然对数的底数,), (,),
⑴若,.求在上的最大值的表达式;
⑵若时,方程在上恰有两个相异实根,求实根的取值范围;
⑶若,,求使得图像恒在图像上方的最大正整数.
【答案】(1);(2) ;(3).
【解析】
试题分析:(1)借助题设条件运用分类整合思想求解;(2)依据题设运用化归转化的数学思想进行探求;(3)依据题设构造函数,运用导数的知识求解.
试题解析:
(1)时,,
;
①当时,,在上为增函数,此时,
②当时,,在上为增函数,
故在上为增函数,此时…………………………………2分
③当时,,在上为增函数,在上为减函数,
若,即/span>时,故在上为增函数,在上为减函数,
此时………………………………5分
若,即时,在上为增函数,则此时,
综上所述: ………………………………6分,
(2),,
在上单调递减,在上单调递增,……………7分
在上恰有两个相异实根,
,
实数的取值范围是,…………………………………10分
(3)由题设:,,(*)
,故在上单调递减,在上单调递增,
(*),
设,则,
在上单调递增,在上单调递减,…………………………12分
而,
且,
故存在,使,
且时,,时,,
又,,时,使的图像恒在图像的上方的最大整数………………14分.
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【题目】椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,焦点到短轴端点的距离为2,离心率为.
(Ⅰ)求该椭圆的方程;
(Ⅱ)若直线与椭圆交于, 两点且,是否存在以原点为圆心的定圆与直线相切?若存在求出定圆的方程;若不存在,请说明理由
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【题目】已知椭圆=1(a>b>0)的离心率e=,连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A,B.已知点A的坐标为(-a,0).若|AB|=,求直线l的倾斜角.
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【题目】已知函数f(x)=ax+x2-xlna,a>1.
(1)求证:函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
(2)对任意x1,x2∈[-1,1],|f(x1)-f(x2)|≤e-1恒成立,求a的取值范围.
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【题目】某公司为确立下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费(单位:千元)对年销售量(单位: )和年利润(单位:千元)的影响.对近年的宣传费和年销售量数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
表中
(Ⅰ)根据散点图判断, 与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立关于的回归方程;
(Ⅲ)已知这种产品的年利率与的关系为.根据(Ⅱ)的结果回答下列问题:
(i)年宣传费时,年销售量及利润的预报值是多少?
(ii)年宣传费为何值时,年利率的预报值最大?
附:对于一组数据……,其回归线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为: ,
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【题目】(本小题满分14分)
已知函数(为常数)的图像与轴交于点,曲线在点处的切线斜率为.
(1)求的值及函数的极值;
(2)证明:当时,
(3)证明:对任意给定的正数,总存在,使得当时,恒有
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【题目】用0,1,2, 3,4,5这六个数字:
(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数?
(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数?
(3)能组成多少个无重复数字且比1325大的四位数?
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