Question

【题目】已知函数f(x)＝ax＋x2－xlna，a>1.

(1)求证：函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；

(2)对任意x1，x2∈[－1,1]，|f(x1)－f(x2)|≤e－1恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）1<a≤e.

【解析】试题分析：(1)根据函数的解析式，得到，由，且时，得到，即可证得函数在单调递增；

（2）由（1）得到函数的单调性，求解函数的最值，令，可得为单调递增函数，得，即可得到函数的最值，即可作出证明.

试题解析： (1)证明：f′(x)＝axlna＋2x－lna＝2x＋(ax－1)lna，

由于a>1，故当x∈(0，＋∞)时，lna>0，ax－1>0，所以f′(x)>0，

故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．

(2)由(1)可知，当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，

故函数f(x)在(－∞，0)上单调递减．

所以，f(x)在区间[－1,0]上单调递减，在区间[0,1]上单调递增．

所以f(x)min＝f(0)＝1， f(x)max＝max{f(－1)，f(1)}，

f(－1)＝＋1＋lna，f(1)＝a＋1－lna，

f(1)－f(－1)＝a－－2lna，

记g(x)＝x－－2lnx，g′(x)＝1＋－＝2≥0，

所以g(x)＝x－－2lnx递增，故f(1)－f(－1)＝a－－2lna>0，

所以f(1)>f(－1)，于是f(x)max＝f(1)＝a＋1－lna，

故对任意x1，x2∈[－1,1]，|f(x1)－f(x2)|max＝|f(1)－f(0)|＝a－lna，

a－lna≤e－1，所以1<a≤e.