【题目】如图,已知圆:
经过椭圆
:
(
)的左右焦点
,
,与椭圆
在第一象限的交点为
,且
,
,
三点共线.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设与直线(
为原点)平行的直线
交椭圆
于
,
两点.当
的面积取到最大值时,求直线
的方程.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
.
【解析】
试题分析:(Ⅰ)由,
,
三点共线可知
为圆
的直径,从而可得
,在圆方程中令
求出
即
,由勾股定理可求得
,由椭圆定义求出
的值即可;(Ⅱ)设直线
的方程为
,联立方程组,由弦长公式求出
,由点到直线的距离公式求出
到直线
的距离
,求出三角形面积表达式
,由基本不等式求最值及取得最值时
的值即可.
试题解析:(Ⅰ),
,
三点共线,
为圆
的直径,且
,
.
由,
得,
…(2分)
,
,
.(3分)
,
,………(4分)
椭圆
的方程为
.…(5分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,点的坐标为
,
直线
的斜率为
(6分)
故设直线的方程为
,
联立得,
…………(7分)
设,
,
,
,
,
.……(8分)
又
……(9分)
点
到直线
的距离
(10分)
,
当且仅当,即
时等号成立,
此时直线的方程为
.…………(12分)
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【题目】已知a是实数,函数f(x)= (x-a).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)设g(a)为f(x)在区间[0,2]上的最小值.
①写出g(a)的表达式;
②求a的取值范围,使得-6≤g(a)≤-2.
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【题目】在某地区某高传染性病毒流行期间,为了建立指标显示疫情已受控制,以便向该地区居众显示可以过正常生活,有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”,根据连续7天的新增病例数计算,下列各选项中,一定符合上述指标的是( )
①平均数≤3;②标准差S≤2;③平均数
≤3且标准差S≤2;④平均数
≤3且极差小于或等于2;⑤众数等于1且极差小于或等于1.
A.①② B.③④
C.③④⑤ D.④⑤
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【题目】如图,已知底角为45的等腰梯形ABCD,底边BC长为7cm,腰长为,当一条垂直于底边BC
(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时,直线l把梯形分成两部分,令BF=x
(1)试写出直线l左边部分的面积f(x)与x的函数.
(2)已知A={x|f(x)<4},B={x|a2<x<a+2},若A∪B=B,求a的取值范围。.
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【题目】椭圆的中心在坐标原点,焦点在
轴上,焦点到短轴端点的距离为2,离心率为
.
(Ⅰ)求该椭圆的方程;
(Ⅱ)若直线与椭圆
交于
,
两点且
,是否存在以原点
为圆心的定圆与直线
相切?若存在求出定圆的方程;若不存在,请说明理由
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【题目】已知函数f(x)=cos xsin 2x,下列结论中正确的是________(填入正确结论的序号).
①y=f(x)的图象关于点(2π,0)中心对称;
②y=f(x)的图象关于直线x=π对称;
③f(x)的最大值为;
④f(x)既是奇函数,又是周期函数.
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【题目】已知函数f(x)=ax+x2-xlna,a>1.
(1)求证:函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
(2)对任意x1,x2∈[-1,1],|f(x1)-f(x2)|≤e-1恒成立,求a的取值范围.
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