【题目】椭圆的中心在坐标原点,焦点在
轴上,焦点到短轴端点的距离为2,离心率为
.
(Ⅰ)求该椭圆的方程;
(Ⅱ)若直线与椭圆
交于
,
两点且
,是否存在以原点
为圆心的定圆与直线
相切?若存在求出定圆的方程;若不存在,请说明理由
【答案】(1)椭圆方程为;(2)存在,方程为
.
【解析】试题分析:(1)根据椭圆几何性质可知,椭圆焦点到短轴端点的距离为,即
,又离心率
,所以
,则
,所以椭圆方程为
;(2)若直线斜率
存在时,设直线
:
,将直线方程与椭圆方程联立,消去未知数
,得到关于
的一元二次方程,设
,
,然后表示出韦达定理,由于
,转化为
,即
,坐标表示为
,于是得到关于
的等式,再求原点O到直线AB的距离
,与前面的等式联立化简、整理可以得出
,最后得到圆的方程.
试题解析:(Ⅰ)设椭圆的半焦距为,
∵椭圆的中心在坐标原点,焦点在
轴上,焦点到短轴端点的距离为2,离心率为
,
∴由题意,且
,解得
,
.
∴所求椭圆方程为.
(Ⅱ)设,
,若
存在,则设直线
:
,由
,得
∴,且
,由
,知
,代入得
,原点到直线
的距离
,
当的斜率不存在时,
,得
,
,依然成立
∴点到直线
的距离为定值
.
∴定圆方程为.
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【题目】已知幂函数(m∈Z)为偶函数,且在区间(0,+∞)上是单调增函数.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设函数,若g(x)>2对任意的x∈R恒成立,求实数c的取值范围.
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【题目】以下是解决数学问题的思维过程的流程图:
在此流程图中,①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是( )
A. ①—分析法,②—反证法 B. ①—分析法,②—综合法
C. ①—综合法,②—反证法 D. ①—综合法,②—分析法
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【题目】如图,已知圆:
经过椭圆
:
(
)的左右焦点
,
,与椭圆
在第一象限的交点为
,且
,
,
三点共线.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设与直线(
为原点)平行的直线
交椭圆
于
,
两点.当
的面积取到最大值时,求直线
的方程.
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【题目】一个盒子中装有2个红球,4个白球,除颜色外,它们的形状、大小、质量等完全相同
(1)采用不放回抽样,先后取两次,每次随机取一个球,求恰好取到1个红球,七个白球的概率;
(2)采用放回抽样,每次随机抽取一球,连续取3次,求至少有1次取到红球的概率.
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【题目】已知函数图象上点
处的切线方程与直线
平行(其中
),
.
(Ⅰ)求函数的解析式;
(Ⅱ)求函数在
(
)上的最小值;
(Ⅲ)对一切,
恒成立,求实数
的取值范围.
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【题目】下列说法中,正确的有( )
①函数y=的定义域为{x|x≥1};
②函数y=x2+x+1在(0,+∞)上是增函数;
③函数f(x)=x3+1(x∈R),若f(a)=2,则f(-a)=-2;
④已知f(x)是R上的增函数,若a+b>0,则有f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b).
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
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【题目】已知函数 (
为自然对数的底数,
),
(
,
),
⑴若,
.求
在
上的最大值
的表达式;
⑵若时,方程
在
上恰有两个相异实根,求实根
的取值范围;
⑶若,
,求使
得图像恒在
图像上方的最大正整数
.
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