Question

已知函数，．
（1）若函数的图象在处的切线与轴平行，求的值；
（2）若，恒成立，求的取值范围．

Answer 1

（1）；（2）.

试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数求曲线的切线、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值、恒成立问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力，考查学生的分类讨论思想、函数思想.第一问，对求导，将切点的横坐标代入得到切线的斜率，由于与x轴平行，所以斜率为0，解出a的值；第二问，由于，恒成立，转化为当时，，所以本问的主要任务是求的最小值，对求导，由于的正负的判断不容易，所以进行二次求导进行最值、单调性的判断.
试题解析：（1）                                       2分
因为在处切线与轴平行，即在切线斜率为即，∴．                           5分
（2），令，则，
所以在内单调递增，
（i）当即时，，在内单调递增，要想只需要，解得，从而                            8分
（ii）当即时，由在内单调递增知，
存在唯一使得，有，令解
得，令解得，从而对于在处取最小值，
，又
，从而应有，即
，解得，由可得，有，综上所述，．             12分