Question

15．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，短轴两个端点为A，B，且四边形F₁AF₂B是边长为2的正方形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P是椭圆C上一点，M（$\frac{1}{2}$，0）为椭圆长轴上一点，求|PM|的最大值与最小值；
（3）设Q是椭圆外C的动点，满足|$\overrightarrow{{F_1}Q}$|=4，点R是线段F₁Q与该椭圆的交点，点T在线段F₂Q上，并且满足$\overrightarrow{RT}$•$\overrightarrow{T{F_2}}$=0，|$\overrightarrow{T{F_2}}$|≠0，求点T的轨迹C的方程．

Answer 1

分析 （1）运用正方形的性质可得b=c=$\sqrt{2}$，求得a=2，进而得到椭圆方程；
（2）设P（x，y）P是椭圆C上一点，则y²=2-$\frac{1}{2}$x²，运用两点的距离公式和二次函数的最值求法，即可得到所求最值；
（3）通过连接PF₂、连接OT，利用椭圆定义可知|PF₂|=|PQ|，进而T为QF₂的中点，利用三角形中位线定理可知|OT|=2，进而可得轨迹方程．

解答 解：（1）由四边形F₁AF₂B是边长为2的正方形，
可得b=c=$\sqrt{2}$，a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$=4，
则椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=；
（2）设P（x，y）P是椭圆C上一点，
则y²=2-$\frac{1}{2}$x²，
可得|PM|=$\sqrt{（x-\frac{1}{2}）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}-x+\frac{1}{4}+2-\frac{1}{2}{x}^{2}}$
=$\sqrt{\frac{1}{2}（x-1）^{2}+\frac{7}{4}}$，
由x∈[-2，2]，可得当x=1时，|PM|的最小值为$\frac{\sqrt{7}}{2}$；
当x=-2时|PM|的最大值为$\frac{5}{2}$；
（3）设点T的坐标为（x，y），
连接PF₂，连接OT，
由椭圆的定义可得|PF₁|+|PF₂|=4，又|QF₁|=4，
可得|PF₂|=|PQ|，
由$\overrightarrow{RT}$•$\overrightarrow{T{F_2}}$=0，可得PT⊥QF₂，
即有QT=TF₂，
又|OF₁|=|OF₂|，
可得OT∥QF₁，
则|OT|=$\frac{1}{2}$|QF₁|=2，
即有T的轨迹C方程为圆x²+y²=4．

点评 本题考查椭圆方程的求法，注意运用正方形的性质，考查两点的距离的最值的求法，注意转化为二次函数的最值求法，考查轨迹方程的求法，注意运用等腰三角形的三线合一，以及椭圆的定义和中位线定理，属于中档题．