Question

（2012•九江一模）如图所示，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，AB=2，PA=2

2

，M是PA的中点．
（1）求证：平面PCD∥平面MBE；
（2）设PA=λAB，当二面角D-ME-F的大小为135°，求λ的值．

Answer 1

分析：（1）证明平面PCD∥平面MBE，利用面面平行的判定定理，证明一个平面内的两条相交直线平行于另一平面即可；
（2）不妨设AB=2，则PA=2λ，以A为坐标原点，AE，AB，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面DME的法向量，平面FME的法向量为

n

=(-λ，

3

λ，-2

3

)，利用向量夹角公式，建立方程，即可求得结论．

解答：（1）证明：连接AD交BE于点G，连接MG，则点G是正六边形的中心，所以G是线段AD的中点
∵M是PA的中点，∴MG∥PD
∵PD?平面MBE，MG?平面MBE
∴PD∥平面MBE
∵DC∥BE，DC?平面MBE，BE?平面MBE
∴DC∥平面MBE
∵PD∩DC=D
∴平面PCD∥平面MBE；
（2）解：不妨设AB=2，则PA=2λ，在正六边形ABCDEF中，连接AE，过点F作FH⊥AE，垂足为H，则FH=AFsin∠FAE=1，AH=AFcos∠FAE=

3

，AE=2

3

，以A为坐标原点，AE，AB，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），E（2

3

，0，0），D（2

3

，2，0），F（

3

，-1，0），M（0，0，λ）
∴

EM

=（-2

3

，0，λ），

ED

=（0，2，0），

EF

=（-

3

，-1，0）
设平面DME的法向量为

m

=(x，y，z)，
由

m • ED =0 m • EM =0

得

2y=0 -2 3 x+λz=0

，取z=2

3

，则

m

=(λ，0，2

3

)
同理可得平面FME的法向量为

n

=(-λ，

3

λ，-2

3

)
∴cos＜

m

，

n

＞=

-λ2-12

λ2+12 • 4λ2+12

∵二面角D-ME-F的大小为135°
∴

-λ2-12

λ2+12 • 4λ2+12

=-

2

2

∴λ²=6
∵λ＞0，
∴λ=

6

点评：本题考查面面平行，考查面面角，解题的关键是掌握面面平行的判定方法，确定平面的法向量，属于中档题．