Question

（本小题满分12分）如图，已知四棱锥，底面为菱形，⊥平面，，、分别是、的中点。
（Ⅰ）证明：⊥；
（Ⅱ）若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值。

Answer 1

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（Ⅰ）证明：由四边形为菱形，，
可得为正三角形。因为为的中点，所以。 …………1分
又∥，因此。…………………………………………………2分
因为平面，平面，所以。 ………3分
而，所以平面。 ………………………………4分
又平面，所以。 ……………………………………5分
（Ⅱ）解：设，为上任意一点，连接、
由（Ⅰ）可知：平面，
则为与平面所成的角。……………………………………………6分
在中，，
所以当最短时，最大， ………………………………………………7分
即当时，最大，此时。           
因此。又，所以，于是。 ……………………8分
因为⊥平面，平面，
所以平面平面。  …………………………………………9分
过作于，则由面面垂直的性质定理可知：平面，
过作于，连接，
则由三垂线定理可知：为二面角的平面角。  ……………………10分
在中，，
又是的中点，在中，            
又  ………………………………11分
在中， 
即二面角的余弦值为。  ………………………………12分