Question

已知函数y=f（x）为R上的偶函数，且对任意x∈R，均有f（x+6）=f（x）+f（3）成立且f（0）=-2，当x₁，x₂∈[0，3]且x₁≠x₂时，有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，则下列命题中正确的有

 

．
①f（2013）=-2；
②y=f（x）图象关于x=-6对称；
③y=f（x）在[-9，-6]上为增函数；
④方程f（x）=0在[-9，9]上有4个实根．

Answer 1

分析：依据函数y=f（x）的单调性与周期性对①②③④四个选项逐一判断即可．

解答：解：对于①：∵y=f（x）为R上的偶函数，且对任意x∈R，均有f（x+6）=f（x）+f（3），
∴令x=-3得：f（6-3）=f（-3）+f（3）=2f（3），
∴f（3）=0，
∴f（x+6）=f（x），
∴函数y=f（x）是以6为周期的函数，
∴f（2013）=f（335×6+3）=f（3）=0，故①错误；
对于②：∵函数y=f（x）是以6为周期的偶函数，
∴f（-6+x）=f（x），f（-6-x）=f（x），
∴f（-6+x）=f（-6-x），
∴y=f（x）图象关于x=-6对称，即②正确；
对于③：∵当x₁，x₂∈[0，3]且x₁≠x₂时，有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，
∴y=f（x）在区间[0，3]上为增函数，又函数y=f（x）是偶函数，
∴y=f（x）在区间[-3，0]上为减函数，又函数y=f（x）是以6为周期的函数，
∴y=f（x）在区间[-9，-6]上为减函数，故③错误；
对于④：∵y=f（x）在区间[-3，0]上为减函数，在区间[0，3]上为增函数，且f（3）=f（-3）=0，
∴方程f（x）=0在[-3，3]上有2个实根（-3和3），又函数y=f（x）是以6为周期的函数，
∴方程f（x）=0在区间[-9，-3）上有1个实根（为-9），在区间（3，9]上有一个实根（为9），
∴方程f（x）=0在[-9，9]上有4个实根，故④正确．
综上所述，命题中正确的有②④．
故答案为：②④．

点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数的奇偶性、对称性、周期性、单调性，考查函数的零点，属于中档题．