Question

已知数列{a_n}的通项公式为an=2n-1+n+

1

n

-1，则a₁C_n⁰+a₂C_n¹+a₃C_n²+…+a_n+1C_nⁿ=

3ⁿ+n•2^n-1+

2n+1-1

n+1

．

Answer 1

分析：把an=2n-1+n+

1

n

-1代入所求的式子，然后分组分别利用二项式系数的性质结合数列的求和进行求解

解答：解：∵（1+2）ⁿ=C_n⁰•2⁰+C_n¹•2¹+…+C_nⁿ•2ⁿ=3ⁿ
又∵k

C

k n

=k•

n!

k!(n-k)!

=

n•(n-1)!

(k-1)![(n-1)-(k-1)]!

=nC_n-1^k-1
∴（1-1）C_n⁰+（2-1）C_n¹+…+[（n+1）-1]C_nⁿ=C_n¹+2C_n²+…+nC_nⁿ
=n（C_n-1⁰+C_n-1¹+…+C_n-1^n-1）=n•2^n-1
∵

C k n+1

n+1

=

(n+1)!

(n+1)•k!•(n+1-k)!

=

n!

k!(n+1-k)!

=

1

k

×

n!

(k-1)!(n+1-k)!

=

C k-1 n

k

∴

C 0 n

1

+

C 1 n

2

+…+

C n n

n+1

=

C 1 n+1 + C 2 n+1 +…+ C n+1 n+1

n+1

=

2n+1-1

n+1

则a₁C_n⁰+a₂C_n¹+a₃C_n²+…+a_n+1C_nⁿ=（2⁰C_n⁰+…+2ⁿC_nⁿ）+（c_n¹+2C_n²+…+nC_nⁿ）+(

C 0 n

1

+

C 1 n

2

+…+

C n n

n+1

)
=3n+n•2n-1+

2n+1-1

n+1

故答案为：3n+n•2n-1+

2n+1-1

n+1

点评：本题主要考查了二项展开式的性质应用，数列求和的应用，解题的关键是根据二项式系数的性质：①kC_n^k=nC_n-1^k-1②C_n⁰+C_n¹+…+C_nⁿ=2ⁿ