Question

设△ABC的三个内角A、B、C所对的三边依次为a、b、c，cos（C-

π

3

）=

b+c

2a

（Ⅰ）求A
（Ⅱ）若a=2．S_△ABC=

3

，求b+c的值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）利用正弦定理把已知等式中的边转换为角的正弦，化简整理可求得sin（A-

π

6

）的值，进而求得A．
（Ⅱ）利用三角形面积公式求得bc，进而利用余弦定理求得b²+c²的值，最后利用完全平方式求得答案．

解答： 解：（Ⅰ）cos（C-

π

3

）=

b+c

2a

=

sinB+sinC

2sinA

，
整理得sinAcosC+

3

sinCsinA=sinAcosC+cosAsinC，
整理得

3

sinA-cosA=1，整理得sin（A-

π

6

）=

1

2

，
∴A-

π

6

=

π

6

，或A-

π

6

=

5π

6

，
A=

π

3

或π（舍去），
∴A=

π

3

．
（Ⅱ）S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

•

3

2

•bc=

3

，
∴bc=4，
cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

b2+c2-4

8

=

1

2

，
∴b²+c²=8，
∴b+c=

b2+c2+2bc

=4．

点评：本题主要考查了解三角形问题．解题的关键是利用正弦定理和余弦定理进行转化．