Question

已知函数f（x）=

-x2-4x，x≤0 lnx，x＞0

，若f（x）≤a|x|对任意实数x都成立，则实数a的最小值为

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：按照分段函数y=f（x）的表达式，分x=0，x＜0与x＞0三类讨论，分别求得a的最小值，取交即可．

解答： 解：若x=0，f（x）≤a|x|?0≤0对任意实数a都成立；
若x＜0，则f（x）≤a|x|?a≥

-x2-4x

|x|

=

-x2-4x

-x

=x+4，
由于x＜0时，x+4＜4，所以a≥4；
若x＞0，则f（x）≤a|x|?a≥

lnx

|x|

=

lnx

x

，
令h（x）=

lnx

x

（x＞0），则h′（x）=

1-lnx

x2

，
当0＜x＜e时，h′（x）＞0，
当x＞e时，h′（x）＜0，
所以，当x=e时，h（x）=

lnx

x

（x＞0）取得极大值，也是最大值，即h（x）_max=h（e）=

1

e

，
所以，a≥

1

e

．
综上述，实数a的最小值为

1

e

．
故答案为：

1

e

．

点评：本题考查分段函数的应用，着重考查函数恒成立问题，考查分类讨论与等价转化思想，考查运算求解能力，属于中档题．