Question

【题目】如图，在四棱柱中，底面是边长为的菱形，.

（1）证明：平面平面；

（2）若，是等边三角形，求点到平面的距离.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）连接交于点，可知点为的中点，利用等腰三角形三线合一的性质可得出，利用菱形的性质可得出，可得出平面，结合面面垂直的判定定理可得出结论；

（2）计算出，并推导出平面，平面，进而可得出到平面的距离与点到平面的距离相等，即为.

（1）如图，设与相交于点，连接，

因为四边形为菱形，故，为的中点.

又，故．

又平面，平面，且，故平面.

又平面，所以平面平面；

（2）底面是边长为的菱形，又，所以，.

又是等边三角形，可得，，．

由（1）可知，，平面，

平面，则，所以．

设交于点，

又，，所以平行四边形为菱形，故．

又，，，所以平面．

平面，所以.

，所以平面，故为在平面内的射影，故点到平面的距离为．

又，平面，所以平面．

故点到平面的距离与点到平面的距离相等，

所以点到平面的距离为.