【题目】如图,是边长为2的正方形,平面平面,且,是线段的中点,过作直线,是直线上一动点.
(1)求证:;
(2)若直线上存在唯一一点使得直线与平面垂直,求此时二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)先证EO⊥面ABCD,进而可得BC⊥面EOF,从而可证OF⊥BC;
(2)由(1)可得平面,得到、、两两垂直,可建立空间直角坐标系,由条件得到,转化为向量,从而,转化为关于的方程有唯一实数解,得到,,又判断∠BFC为二面角B﹣OF﹣C的平面角,利用向量夹角公式可求二面角B﹣OF﹣C的余弦值.
(1)因为,是中点,故,
又因为平面平面,平面平面,
故平面,所以;
因为,,所以,
故平面,
所以.
(2)设的中点为,则有,由(1),平面,
所以、、两两垂直.可如图建立空间直角坐标系.
依题意设点的坐标为,点的坐标为,又,,
所以,,
由(1)知,故与平面垂直,等价于,
故,从而,即,
直线上存在唯一一点使得直线与平面垂直,即关于的方程有唯一实数解.
所以,解得,此时.
故点的坐标为,点的坐标为.
因为平面,所以且,
所以即二面角的平面角.
因为,,
所以,
即若直线上存在唯一一点使得直线与平面垂直时,
所以二面角的余弦值为.
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【题目】(本小题满分12分)已知点为抛物线的焦点,点在抛物线上,且.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)已知点,延长交抛物线于点,证明:以点为圆心且与直线相切的圆,必与直线相切.
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【题目】已知椭圆,、分别是椭圆长轴的左、右端点,为椭圆上的动点.
(1)求的最大值,并证明你的结论;
(2)设直线的斜率为,且,求直线的斜率的取值范围.
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【题目】在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(2)若点在曲线上,点在曲线上,求的最小值及此时点的坐标.
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【题目】已知抛物线的准线过椭圆C:(a>b>0)的左焦点F,且点F到直线l:(c为椭圆焦距的一半)的距离为4.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过点F做直线与椭圆C交于A,B两点,P是AB的中点,线段AB的中垂线交直线l于点Q.若,求直线AB的方程.
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【题目】在正方形中,,分别为棱和棱的中点,则下列说法正确的是( )
A.∥平面B.平面截正方体所得截面为等腰梯形
C.平面D.异面直线与所成的角为60°
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【题目】已知正四棱柱的底面边长,侧棱长,它的外接球的球心为,点 是的中点,点是球上的任意一点,有以下命题:
① 的长的最大值为9;
②三棱锥的体积的最大值是;
③存在过点的平面,截球的截面面积为;
④三棱锥的体积的最大值为20;
⑤过点的平面截球所得的截面面积最大时,垂直于该截面.
其中是真命题的序号是___________
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