Question

 

如图，在长方体中，、分别是棱,

上的点，,

（1）   求异面直线与所成角的余弦值；

（2）   证明平面

（3）   求二面角的正弦值。

 

 

Answer 1

【答案】

 【解析】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，满分12分。

方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，

点A为坐标原点，设,依题意得,

,,

（1）   解：易得,

于是

  所以异面直线与所成角的余弦值为

（2）   证明：已知,,

于是·=0，·=0.因此，,,又

所以平面

(3)解：设平面的法向量，则,即

不妨令X=1,可得。由（2）可知，为平面的一个法向量。

于是，从而

所以二面角的正弦值为

方法二：（1）解：设AB=1，可得AD=2,AA₁=4,CF=1.CE=

链接B₁C,BC₁，设B₁C与BC₁交于点M,易知A₁D∥B₁C，由,可知EF∥BC₁.故是异面直线EF与A₁D所成的角，易知BM=CM=,所以 ,所以异面直线FE与A₁D所成角的余弦值为

（2）证明：连接AC，设AC与DE交点N 因为，所以，从而，又由于,所以，故AC⊥DE,又因为CC₁⊥DE且，所以DE⊥平面ACF，从而AF⊥DE.

连接BF，同理可证B₁C⊥平面ABF,从而AF⊥B₁C,所以AF⊥A₁D因为，所以AF⊥平面A₁ED

(3)解：连接A₁N.FN,由（2）可知DE⊥平面ACF,又NF平面ACF, A₁N平面ACF，所以DE⊥NF,DE⊥A₁N,故为二面角A₁-ED-F的平面角

易知，所以，又所以，在

连接A₁C₁,A₁F 在

。所以

所以二面角A₁-DE-F正弦值为