Question

已知函数f（x）=2sinxcosx-2sin²x+1（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）若在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，A为锐角，且，求△ABC面积S的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f（x）=2sinxcosx-sin²x+1
=2sinxcosx+cos2x
=sin2x+cos2x
=（sin2x+cos2x）
=sin（2x+）---（2分）
∴f（x）的最小正周期为π；--------------------（3分）
∵-+2kπ≤2x+≤+2kπ（k∈Z），
∴-+kπ≤x≤+kπ（k∈Z），
∴f（x）的增区间为（-+kπ，+kπ）（k∈Z），-----------（6分）
（Ⅱ）∵f（A+）=，
∴sin（2A+）=，
∴cos2A=，
∴2cos²A-1=，
∵A为锐角，即0＜A＜，
∴cosA=，
∴sinA==．--------------------（8分）
又∵a=，由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，即=b²+c²-2bc•，
∵b²+c²≥2bc，
∴bc≤+．-------------------------（10分）
∴S=bcsinA≤（+）•=．---------（12分）
分析：（Ⅰ）利用同角三角函数基本关系将f（x）=2sinxcosx-2sin²x+1（x∈R）转化为f（x）=sin（2x+），利用正弦函数的性质即可求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）由f（A+）=，可求得cos2A=，而A为锐角，可求得cosA、sinA，又a=，利用余弦定理与基本不等式可得bc≤+，从而可求得△ABC面积S的最大值．
点评：本题考查同角三角函数基本关系，考查正弦函数的单调性与最值，突出余弦定理与基本不等式的应用，综合性强，属于中档题．