Question

【题目】设函数f（x）=1+（1+a）x﹣x2﹣x3 ， 其中a＞0．
（1）讨论f（x）在其定义域上的单调性；
（2）当x∈[0，1]时，求f（x）取得最大值和最小值时的x的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），f′（x）=1+a﹣2x﹣3x2，

由f′（x）=0，得x1= ，x2= ，x1＜x2，

∴由f′（x）＜0得x＜ ，x＞ ；

由f′（x）＞0得 ＜x＜ ；

故f（x）在（﹣∞， ）和（ ，+∞）单调递减，

在（ ， ）上单调递增；

（2）解：∵a＞0，∴x1＜0，x2＞0，∵x∈[0，1]，当 时，即a≥4

①当a≥4时，x2≥1，由（Ⅰ）知，f（x）在[0，1]上单调递增，∴f（x）在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值．

②当0＜a＜4时，x2＜1，由（Ⅰ）知，f（x）在[0，x2]单调递增，在[x2，1]上单调递减，

因此f（x）在x=x2= 处取得最大值，又f（0）=1，f（1）=a，

∴当0＜a＜1时，f（x）在x=1处取得最小值；

当a=1时，f（x）在x=0和x=1处取得最小值；

当1＜a＜4时，f（x）在x=0处取得最小值．

【解析】（1）利用导数判断函数的单调性即可；（2）利用（1）的结论，讨论两根与1的大小关系，判断函数在[0，1]时的单调性，得出取最值时的x的取值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的最大(小)值与导数的理解，了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．