Question

10．已知椭圆$\frac{{y}^{2}}{12}+\frac{{x}^{2}}{8}=1$，F₁，F₂为其焦点，P为椭圆上一点，且∠F₁PF₂=60°，△PF₁F₂的面积为$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，在焦点三角形中由椭圆定义及余弦定理求得|PF₁||PF₂|的值，代入三角形面积公式得答案．

解答 解：如图，

由椭圆$\frac{{y}^{2}}{12}+\frac{{x}^{2}}{8}=1$，得a²=12，b²=8，c²=4，
∴a=$2\sqrt{3}$，c=2，
在△F₁PF₂中，由余弦定理得$4{c}^{2}=|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|cos60°$，
即$4{c}^{2}=（|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|）^{2}-3|P{F}_{1}||P{F}_{2}|$，
∴4c²=4a²-3|PF₁||PF₂|，得|PF₁||PF₂|=$\frac{32}{3}$．
∴△PF₁F₂的面积S=$\frac{1}{2}|P{F}_{1}||P{F}_{2}|sin60°=\frac{1}{2}×\frac{32}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，训练了涉及焦点三角形问题的解法，属中档题．