Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，AB=

2

，BC=1，E，F分别是AB，PC的中点，DE⊥PA．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面PDE．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）取PD中点G，连AG，FG，证明四边形AEFG为平行四边形，可得EF∥AG，即可证明EF∥平面PAD；
（Ⅱ）证明DE⊥平面PAC，再证明平面PAC⊥平面PDE．

解答： 证明：（Ⅰ）取PD中点G，连AG，FG，
因为F、G分别为PC、PD的中点，
所以FG∥CD，且FG=

1

2

CD．…（2分）
又因为E为AB中点，所以AE∥CD，且AE=

1

2

CD．…（3分）
所以AE∥FG，AE=FG．
故四边形AEFG为平行四边形．  …（5分）
所以EF∥AG，
又EF?平面PAD，AG?平面PAD，
故EF∥平面PAD．                                      …（7分）
（Ⅱ）设AC∩DE=G，由△AEG∽△CDG及E为AB中点得

AG

CG

=

AE

CD

=

1

2

，
又因为AB=

2

，BC=1，所以AC=

3

，AG=

1

3

AC=

3

3

．
所以

AG

AE

=

AB

AC

=

2

3

，
又∠BAC为公共角，所以△GAE∽△BAC．
所以∠AGE=∠ABC=90°，即DE⊥AC．                  …（10分）
又DE⊥PA，PA∩AC=A，
所以DE⊥平面PAC．                                 …（12分）
又DE?平面PDE，所以平面PAC⊥面PDE．     …（14分）

点评：本题以四棱锥为例，考查了空间的直线与平面平行的判定，以及平面与平面垂直的判定，属于中档题．