Question

已知△ABC中，BC=3，AC=4，AB=5，点P是三条边上的任意一点，m=

PA

•

PB

，则m的最小值是

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：由已知条件得△ABC为直角三角形，当P点和A，B，C三点重合时，容易求出m=0．当P点在BC边上，且不与B，C重合时，设

PB

=x

CB

，

PA

=

PB

+

BA

=x

CB

+

CA

-

CB

=(x-1)

CB

+

CA

，所以m=

PA

•

PB

=x

CB

•[(x-1)

CB

+

CA

]=9x(x-1)=9[(x-

1

2

)2-

1

4

]≥-

9

4

，即此时m的最小值是-

9

4

，用同样的方法求P点在另外两边时m的最小值，找出最小的m即可．

解答： 解：由三条边的长度知，△ABC为直角三角形，如图所示，容易求得当P点在A，B，C三点时，m=

PA

•

PB

=0；
当点P在B，C点之间时，设

PB

=x

CB

，

PA

=

PB

+

BA

=x

CB

+

CA

-

CB

=(x-1)

CB

+

CA

；
∴m=

PA

•

PB

=x

CB

•[(x-1)

CB

+

CA

]=x(x-1)

CB

2=9[(x-

1

2

)2-

1

4

]≥-

1

4

；
当点P在点A，C之间时，设

PA

=x

CA

，

PB

=

PA

+

AB

=x

CA

+

CB

-

CA

=(x-1)

CA

+

CB

；
∴m=

PA

•

PB

=x

CA

•[(x-1)

CA

+

CB

]=x(x-1)

CA

2=16[(x-

1

2

)2-

1

4

]≥-4；
当点P在点A，B之间时，设

PA

=x

BA

，则

PB

=-(1-x)

BA

；
∴m=

PA

•

PB

=x(x-1)

BA

2=25[(x-

1

2

)2-

1

4

]≥-

25

4

；
综上得m的最小值为-

25

4

．
故答案为：-

25

4

．

点评：考查两向量垂直时，数量积为0，共线向量基本定理，向量的加法，向量的减法，配方法求二次函数的最小值．