Question

如图所示，已知E、F分别是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱AA₁和棱CC₁的中点．试判断四边形EBFD₁的形状．

Answer 1

考点：直线与平面平行的性质,平面的基本性质及推论

专题：空间位置关系与距离

分析：根据线面平行的性质结合三角形全等的判定定理以及菱形的判定定理证出即可．

解答： 解：如图，取BB₁的中点M，连接A₁M、MF．
∵M、F分别是BB₁、CC₁的中点，
∴MF∥B₁C₁．
在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，有A₁D₁∥B₁C₁，
∴M∥A₁D₁．
∴四边形A₁MFD₁是平行四边形，
∴A₁M∥D₁F．
又E、M分别是AA₁、BB₁的中点，
∴A₁E∥BM，
∴四边形A₁EBM为平行四边形．∴EB∥A₁M．
∴EB∥D₁F．
∴四边形EBFD₁是平行四边形．
又Rt△EAB≌Rt△FCB，
∴BE=BF，∴四边形EBFD₁为菱形．

点评：本题考查了线面平行的性质，考查了平行四边形的性质以及菱形的判定问题，考查了数形结合，是一道中档题．