Question

已知函数f（x）=（

x-1

x+1

）²，（x≥1），f^-1（x）是f（x）的反函数，记g（x）=

1

f-1(x)

+

x

+2．
（1）求f^-1（x）；
（2）判断f^-1（x）的单调性；
（3）求g（x）的最小值．

Answer 1

考点：反函数,函数单调性的判断与证明

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）令y=f（x）=（

x-1

x+1

）²，从而解得x=

1+ y

1- y

；（0≤y＜1）；从而写出反函数；
（2）分离常数，由函数的四则运算求函数的单调性；
（3）化简g（x）=

1

f-1(x)

+

x

+2=

2

1+ x

+

x

+1≥2

2

；利用基本不等式求最值．

解答： 解：（1）y=f（x）=（

x-1

x+1

）²，又∵x≥1；
则

x-1

x+1

=

y

；
故x=

1+ y

1- y

；（0≤y＜1）；
故f^-1（x）=

1+ x

1- x

，（0≤x＜1）；
（2）f^-1（x）=

1+ x

1- x

=-1+

2

1- x

；
∵1-

x

＞0且在[0，1）上是减函数，
故

2

1- x

在[0，1）上是增函数；
即f^-1（x）在[0，1）上是增函数；
（3）g（x）=

1

f-1(x)

+

x

+2
=

2

1+ x

+

x

+1≥2

2

；
（当且仅当

2

1+ x

=

x

+1，即x=3-2

2

时，等号成立）．
故g（x）的最小值为2

2

．

点评：本题考查了反函数的求法及基本不等式的应用，属于中档题．