Question

已知双曲线的中心在原点,焦点F₁、F₂在坐标轴上,离心率为,且过点(4,).

(1)求此双曲线方程;

(2)若直线系kx-y-3k+m=0(其中k为参数)所过的定点M恰在双曲线上,求证:F₁M⊥F₂M.

Answer 1

答案：(1)解:e²===1+=2,∴=1.

可设双曲线方程为x²-y²=λ.

∵点(4,-)在双曲线上,

∴λ=4²-10=6.

∴所求双曲线方程为x²-y²=6.

(2)证明:直线系k(x-3)+(m-y)=0过的定点M(3,m)在双曲线上,

∴3²-m²=6.

∴m=±.∴M(3,±).

又双曲线焦点F₁(-2,0)、F₂(2,0),

∴·=-1.∴F₁M⊥F₂M.