【题目】已知平面多边形中,
,
,
,
,
,
为
的中点,现将三角形
沿
折起,使
.
(1)证明:平面
;
(2)求三棱锥的体积.
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】
(1)取的中点
,连
,即可证明
,结合
即可证明四边形
为平行四边形,问题得证。
(2)取中点
,连接
,
,先说明
平面
,即可求得三角形
为等边三角形,取
的中点
,先说明
平面
,利用体积变换及中点关系,将
转化成
,问题得解。
解:(1)取的中点
,连
.
∵为
中点,∴
为
的中位线,
∴.
又,∴
,
∴四边形为平行四边形,∴
.
∵平面
,
平面
,
∴平面
.
(2)由题意知为等腰直角三角形,
为直角梯形.
取中点
,连接
,
,
∵,∴
,
∵,
,
,∴
平面
,
∴平面
,∵
平面
,∴
.
∴在直角三角形中,
,
,∴
,
∴三角形为等边三角形.
取的中点
,则
,
,
,
∴平面
,
,
∵为
的中点,∴
到平面
的距离等于
到平面
的距离的一半,
∴
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某公司为了解广告投入对销售收益的影响,在若干地区各投入万元广告费用,并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图(如图所示).由于工作人员操作失误,横轴的数据丢失,但可以确定横轴是从
开始计数的. [附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.]
(1)根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度;
(2)试估计该公司投入万元广告费用之后,对应销售收益的平均值(以各组的区间中点值代表该组的取值);
(3)该公司按照类似的研究方法,测得另外一些数据,并整理得到下表:
广告投入 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
销售收益 | 2 | 3 | 2 | 7 |
由表中的数据显示, 与
之间存在着线性相关关系,请将(2)的结果填入空白栏,并求出
关于
的回归直线方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆的离心率为
,以椭圆的上焦点
为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线
截得的弦长为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)过椭圆左顶点做两条互相垂直的直线,
,且分别交椭圆于
,
两点(
,
不是椭圆的顶点),探究直线
是否过定点,若过定点则求出定点坐标,否则说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在直三棱柱中,
,点
分别为棱
的中点.
(Ⅰ)求证:∥平面
(Ⅱ)求证:平面平面
;
(Ⅲ)在线段上是否存在一点
,使得直线
与平面
所成的角为300?如果存在,求出线段
的长;如果不存在,说明理由.
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【题目】提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况,在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/小时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时,研究表明:当20≤x≤200时,车流速度v是车流密度x的一次函数.
(1)当0≤x≤200时,求函数v(x)的表达式;
(2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时)f(x)=xv(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/小时).
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【题目】如图:在三棱锥中,
面
,
是直角三角形,
,
,
,点
、
、
分别为
、
、
的中点.
(1)求证:;
(2)求直线与平面
所成的角的正弦值;
(3)求二面角的正切值.
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【题目】为了比较两种治疗失眠症的药(分别成为A药,B药)的疗效,随机地选取20位患者服用A药,20位患者服用B药,这40位患者服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h)实验的观测结果如下:
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间:
0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5
2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间:
3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4
1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5
(1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果来看,哪种药的效果好?
(2)完成茎叶图,从茎叶图来看,哪种药疗效更好?
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