Question

【题目】如图，直棱柱中，分别是的中点，，

（1）证明：平面；

（2）求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）连接AC1，交A1C于点F，则F为AC1的中点，连接DF，则BC1∥DF，由此能证明BC1∥平面A1C．

（2）以C为坐标原点，CA、CB、CC1为x轴、y轴、z轴建立空间坐标系C﹣xyz，利用向量法能求出二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．

（1）如图，连接交于点F，则点F为的中点，连接.

因为D是的中点，

所以在中，是中位线，

所以.

因为平面，平面，

所以平面.

（2）因为，

所以，即.

则以C为坐标原点，分别以，，为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设，

则，，，

则，，.

设是平面的一个法向量，

则，即，

取，则，，

则.

设是平面的一个法向量，

则，即，

取，则，，

则.

所以，

所以，

即二面角的正弦值为.