Question

【题目】已知数列的前项和为，，且.

（1）求证：数列是等差数列；

（2）设，求.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）可采用作差法由an=Sn﹣Sn﹣1求得an=2an﹣1+2n﹣1，再由bn，表示出bn+1﹣bn，故得证数列是首项为，公差为的等差数列；

（2）由（1）所求bn通项公式反解出an=(n+2)2n﹣1，化简得Sn= (n+1)2n﹣1，结合错位相减法即可求解；

（1）Sn=2an﹣2n﹣1，可得a1=S1=2a1﹣2﹣1，即有a1=3， n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2n﹣1﹣2an﹣1+2n﹣1+1，可得an=2an﹣1+2n﹣1，由bn，可得bn+1﹣bn，

则数列{bn}是首项为，公差为的等差数列；

（2）由（1）可得bn(n﹣1)，即an=(n+2)2n﹣1， Sn=2an﹣2n﹣1=(n+1)2n﹣1， Tn=S1+S2+…+Sn=22+34+48+…+(n+1)2n﹣n， 2Tn=24+38+416+…+(n+1)2n+1﹣2n，相减可得﹣Tn=4+4+8+16+…+2n﹣(n+1)2n+1+n=2(n+1)2n+1+n，化简可得Tn=n2n+1﹣n.